বহুভূজের কোণের সমষ্টি 2 পাতা থেকে পাতা 1

এই জিনিষ ছোটবেলায় টয়লেটে বসে আবিস্কার করেছিলাম। তবে পরে বইতে অলরেডি আছে দেখে মনটা খারাপ হয়েছিল।
আমি এটা আরও সহজে বের করেছিলাম।

নিচের লাইনটা দেখুন।

__________________________

এটাকে একটা সরল রেখা বলতে পারেন। অথবা বলতে পারেন একটা কোন যা কিনা ১৮০ ডিগ্রিতে বেকে আছে।  হ্যা। এটা ১৮০ ডিগ্রিতে বাঁকানো।  এই মূলনীতিটা দিয়েই আরোহ পদ্ধতিতে প্রমান করা যায় আপনার সুত্র।

যে কোন একটা ত্রিভুজ নিন।

               /\
             /    \
           /        \
         /            \
       /                \
     -----------------

এটাতে ৩টি কোন আছে।  এবার এটাকে চতুর্ভুজ বানাই। প্রতিটা সরলরেখাই কিন্তু ১৮০ ডিগ্রিতে বাঁকানো কোন ধরা যায়। সেক্ষেত্রে যে কোন একটি বাহুকে ধরে কোন। তাহলে

৪ কোনের সমস্টি হবে ৪ সমকোন

এভাবে আরও একটি বাহু ধরুন। কোন কল্পনা করুন। তাহলে ৫ কোনের সমস্টি হবে ৬ সমকোন। এভাবে একের পর এক কোন বাড়াতে পারেন। একটা সরল রেখায় একটা কোন থাকবে তা না। অসংখ্য কোন আছে।

সহজ ভাবে বুঝতে চাইলে একটা বাহুর মাঝ থেকে ধরে টান দিন বাইরের দিকে। একটা বিশাল স্থুল কোনের সৃষ্টি হবে। এইকোনের সাইজ ১৮০ থেকে কমে গেছে দেখে কোনের মত লাগছে। এটা কমার সাথে সাথে কিন্তু মূল ত্রিভুজের দুটো কোন বেড়ে গেছে। এভাবে একের পর এক নতুনকোন তৈরী করা যায়। প্রতিটি কোনই শুরু হবে ১৮০ থেকে। পরে একটু কমে যাবে। অর্থাৎ প্রতিটা বাহুতে অসংখ্য ১৮০ ডিগ্রি কোন আছে। প্রয়োজন মত বের করে নিলেই হল।

আবারও একটি চমৎকার টপিক পেলাম আপনার থেকে  বিষয়টা এভাবে বুঝিয়ে দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ।

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি কিন্তু ১৮০ডিগ্রি থেকে বেশীও হতে পারে আবার কমও হতে পারে। ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুসারে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রি।

আরেকটু জানতে চাচ্ছি। ঝেড়ে কাশুন। 

সমতল না হলে তো আর কথা বাড়িয়ে লাভ নাই ... ... ... ত্রিভুজের রেখাগুলোই তো আর সরলরেখা থাকলো না

টপিক চুরি হয়নি:
এটা ঢাকা ইউনিভার্সিটির একটা অনন্য উন্নয়ন / আবিষ্কার। সেই টেড টকে প্রফেসর রাব্বানীর লেকচার দেখে মুগ্ধ হয়ে গিয়েছিলাম। এটাও হয়তো সেটারই আরেকটু বর্ধিত রূপ। এটার প্রচার দরকার।

এখানে যেটা আলোচনা হচ্ছে সেটা ইউক্লিডিও
আবার রেমিনিয়ান অনুসারে সরল রেখা বড় কথা নয় সেটা আলোচনা হয় ত্রিমাত্রিক হিসেবে
প্রতিটি বাহুর থিকনেসও আলোচনায় আসে, শুধু জটিল নয় কুটিলও বটে 

কথা হচ্ছে ইউক্লিডিও জ্যামিতি নিয়েই। সেখানে মাত্রা আনার কারণ দেখি না। কনটেক্সট অনুসারে ত্রিভুজের ৩ কোনের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। এটা সবসময়েই। আর বক্র রেখাই যদি ব্যবহার হয় তাহলে আর ত্রিভুজ থাকে কিভাবে?

আরে বাবা এত মানুষ জ্যামিতি বুঝে

” ELEMENTS ” , জ্যামিতি শাস্ত্রের এক মহাগ্রন্থ । ৩০০ সাল থেকে উনিশ শতকের গোঁড়া পর্যন্ত জ্যামিতি বলতে বোঝাত ইউক্লিডের হাতে গড়া এই এলিমেন্টস্ বইটিকেই। দীর্ঘ দুই হাজার বছর ধরে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি একচেটিয়াভাবে শাসন করেছে জ্যামিতি শাস্ত্রকে । সমগ্র ইউরোপের বাঘা বাঘা সব পণ্ডিতেরা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অগ্রাহ্য করার চিন্তা ভুলেও কখনও মাথায় আনতেন না। ভাবা যায়? কতখানি প্রভাব বিস্তার করলে এমনটি হওয়া সম্ভব! সত্যিকার অর্থে , সে সময় সারা পৃথিবীতে যারা জ্ঞান বিজ্ঞানে নেতৃত্ব দিতেন, নেতৃত্ব দিতেন বৈজ্ঞানিক চেতনার,তাদেরও বদ্ধমূল ধারণা ছিল যে, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অস্বীকার করে নতুন তত্ত্ব আবিষ্কার করা পাগলামি আর মূঢ়তা ছাড়া আর কিছুই নয়। কিন্তু পাগলামি করার জন্য লোকের কী আর অভাব হয়!

হ্যাঁ, কার্ল ফ্রেডরিক গাউস, সর্বকালের শ্রেষ্ঠতম গণিতবিদদের একজন,প্রথম বিরোধিতা করলেন ইউক্লিডকে। তাঁর হাতেই সূত্রপাত ঘটে Non-Eucledian Geometry-র। কীভাবে ?

গাউস দৃঢ় ভাবে বিশ্বাস করতেন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম (!) । এই সত্যতা প্রমাণ করার জন্য তিনি এক অদ্ভুত কাণ্ড ঘটালেন । কী রকম? তিনজন লোককে তিনি তিনটি পাহাড়ের মাথায় উঠালেন । প্রত্যেকে তার নিজের সঙ্গে অন্য দুজনের মধ্যে যে কোণ উৎপন্ন করল তা বের করলেন ।তিনটি কোণের মাপ তিনজনের কাছ থেকে আলাদাভাবে নিলেন গাউস , তারপর কোণ তিনটি যোগ করলেন । দেখা গেল যোগফল ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম! কিন্তু গাউসের প্রিয় শিষ্য এবং অসামান্য প্রতিভাধর গণিতবিদ রেইম্যান আবার প্রমাণ করে দেখালেন যে, কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে বেশী ! ! !

মতপার্থক্য থাকা স্বাভাবিক । কিন্তু যে ব্যাপারে গাউস,রেইম্যান একমত হলেন তা হলো, কোন একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যতো ছোট হবে ততোই ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ধীরে ধীরে ১৮০ডিগ্রীর কাছাকাছি আসবে। আবার বিপরীত ভাবে কোন ত্রিভুজের আকৃতি যতো বড় হবে ততোই ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ধীরে ধীরে ১৮০ডিগ্রী থেকে সরে আসবে।

গাউস দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করেন , সীমিত ক্ষেত্রে ইউক্লিডের ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রী-র জ্যামিতিক তত্ত্বটি খাটলেও সীমাহীন ক্ষেত্রে অথবা মহাজাগতিক ক্ষেত্রে অ- ইউক্লিডীয় তত্ত্বকে প্রয়োগ করাই যুক্তিযুক্ত।

অথচ দুই হাজার বছর ধরে ইউক্লিড বলেছেন, কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কাঁটায় কাঁটায় ১৮০ ডিগ্রী । সারা পৃথিবীর মত আমাদের দেশের মানুষও তাই জানে এবং স্কুল-কলেজে সেটাই পড়ানো হয়। কিন্তু দু:খের বিষয় এই যে, আধুনিক কালের কার্ল ফ্রেডরিক গাউস বা অন্যদের আবিষ্কৃত অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি সম্বন্ধে আমাদের স্কুল-কলেজ গুলোতে কোন ধারণাই দেয়া হয় না, শেখানো তো দূরের কথা। আমাদের দেশ ছাড়া উন্নত-উন্নয়নশীল প্রায় সব দেশেই অ- ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অতি গুরুত্বের সঙ্গে দেখা হয়। সঙ্গত কারণেই বোধহয় একবিংশ শতাব্দীতে দাঁড়িয়েও আমরা আধুনিক গণিত শাস্ত্র থেকে অনেক যোজন দূরে অবস্থান করছি।  ত্রিভূজের তিন কোনের আগে উল্লেখ করতে হবে পন্চম পস্টুলেটটি, যেটি প্যারালাল পস্টুলেট হিসাবে খ্যাত। If a line segment intersects two straight lines forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two lines, if extended indefinitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right angles.If the sum of the two interior angles equals 180°, the lines are parallel and will never intersect. ঐ দুইটি লাইনকে আমরা সমান্তরাল সরল রেখা বলি। পস্টুলেট হলো যার কোন প্রমাণ নেই অথচ তাকে সত্য বলে ধরে নেয়া হয়। ঐ প্যারালাল পস্টুলেটটির বিষয়ে ইউক্লিডের নিজের মনেও খটকা ছিল। গণিতবিদ আল হাইয়াম (Al Hazen) (৯৬৫-১০৩৯) প্রথম চেস্টা করেছিলেন সেটি প্রমান করার। অপর গণিতবিদ ওমর খৈয়াম (১০৫০-১১২৩) প্যারালাল পস্টুলেটে সন্দেহ প্রকাশ করেন এবং তাকে ভুল প্রমাণ করতে গিয়ে নন-ইউক্লিডিয়ান পস্টুলেট তৈরীর প্রচেস্টা করেন। এবং তিনিই এলিপটিকাল ও হাইপারবোলিক জ্যমিতির ধারণার জন্ম দেন। আরও একজন গণিতবিদ নাসির আল দিন আল তুসিও (১২০১-১২৭৪) এলিপটিকাল ও হাইপারবোলিক জ্যমিতির উপর কাজ করেন। আল তুসির ছেলে সাদর আল দিন পিতার কাজের উপর একটি গ্রন্থ রচনা করেন। যা পরবর্তিতে রোম থেকে প্রকাশিত হয়। এই সব কিছুর অনেক পরে গাউস (১৭৭৭-১৮৫৫), রিমান ও লোবাচেভস্কি নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির উপর কাজ করেন।

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির কাঠামোর ভেতরেই বিশ্লেষণী, অভিক্ষেপী ও বিবরণমূলক জ্যামিতির আবর্ভাব ঘটে। বহু শতাব্দী ধরে গণিতবিদেরা বিশ্বাস করতেন যে অনন্য সমান্তরাল রেখা সংক্রান্ত ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটি বাকী চারটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যাবে, কিন্তু এই প্রমাণ বের করার সমস্ত চেষ্টা ব্যর্থ হয়। কিন্তু ১৯শ শতকে এসে নতুন নতুন জ্যামিতিক ব্যবস্থা উদ্ভাবন করা হয় যেগুলিতে ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটিকে অন্য কিছু দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। এইসব নতুন ধরনের অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উদ্ভাবনে নেতৃত্ব দেন কার্ল ফ্রিড্‌রিশ গাউস, ইয়ানোশ বলিয়ই, নিকলাই লবাচেভ্‌‌স্কি এবং গেয়র্গ ফ্রিড্‌রিশ বের্নহার্ট রিমান।

১৮৭২ সালে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লাইন গণিতের একটি অপেক্ষাকৃত নবীন শাখা গ্রুপ তত্ত্ব ব্যবহার করে তাঁর সময়কার সমস্ত জ্যামিতিক ব্যবস্থাগুলিকে এক ব্যবস্থার অধীনে আনেন। ১৮৯৯ সালে আরেকজন জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট তাঁর Foundations of Geometry বইটি প্রকাশ করেন, যাতে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য স্বতঃসিদ্ধসমূহের একটি সুশৃঙ্খল ব্যবস্থা প্রদান করা হয় এবং এটি গণিতের অন্যান্য শাখায় গভীর প্রভাব ফেলে।

১৯১৬ সালে আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে দেখা যায় অনেক ভৌত ঘটনা জ্যামিতিক মূলনীতি থেকে উপনীত হওয়া সম্ভব। এই তত্ত্বের সাফল্য অন্তরক জ্যামিতি ও টপোগণিতের গবেষণায় জোয়ার আনে।

১৯শ শতকের ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি চার বা তারও বেশি মাত্রার জ্যামিতি প্রবর্তন করেন। ১৯শ শতকে ফ্র্যাক্টাল মাত্রার আলোচনা শুরু হয়। ১৯৭০-এর দশকে ফ্র্যাক্টালের ধারণা কাজে লাগিয়ে জ্যামিতির নতুন শাখা ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির উদ্ভব হয়।

থ্রি-বডি প্রব্লেম সমাধান করতে গিয়ে জ্যামিতিক গণিতের একটা পুরোপুরি নতুন শাখাই সৃষ্টি হয়ে গেল বলতে গেলে। শাখাটির নাম ‘টপলজি’ যার সঠিক বাংলা আজ পর্যন্ত হয়েছে বলে আমার জানা নেই। (পরাজ্যামিতি বলা ঠিক হবে কি?)এই নতুন জ্যামিতি অনুযায়ী একটি বর্গক্ষেত্র আর একটি বৃত্তের মাঝে (দুয়ের ভেতরটা যেন একইরকমভাবে ফাঁকা থাকে) প্রকৃতিগত কোনও প্রভেদ নেই—দুটোই টেনেটুনে ছোট আকারে সংকুচিত করে করে বিন্দুতে পরিণত করা যায়, সুতরাং পরাজ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গিতে তারা অভিন্ন। স্পষ্টতই গতানুগতিক ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির সঙ্গে আকাশপাতাল তফাৎ।

কৃতজ্ঞতা মীজান রহমান,  সাদিক ফয়সাল,  ড. রমিত আজাদ এবং উইকিপিডিয়া।