টপিকঃ বহুভূজের কোণের সমষ্টি
আমার ছোট ভাই দেখছি মানুষকে গণিত শিখাবার এক ভয়াবহ কান্ডের তোড়জোড় শুরু করেছে। ইতিমধ্যে শুরু করেছে "গণিত নিয়ে টুকিটাকি" নামের একটি সিরিজ। এরই ফাঁকতালে দেখি "বহুভূজের কোণের সমষ্টি" প্রসব করে ফেলল...
------------------------
কিছুদিন আগে চায়ের দোকানে বসে আড্ডা দেবার সময় এই প্রশ্নের সম্মুখীন হয়েছিলাম যে,
বহুভুজের সবগুলো কোণের সমষ্টি কত, যেখানে ভুজ সংখ্যা n ?
এইক্ষেত্রে সমাধান হল (n-2) x 180 ।
প্রশ্ন হল কিভাবে?
খুব সহজ। তার আগে প্রশ্নটা বুঝে নিই। ধর তোমাকে বলা হল একটা ত্রিভুজের (তিন ভুজ) সবগুলো (তিনটা) কোণের সমষ্টি কত অথবা চতুর্ভুজের (চার ভুজ) সবগুলো (চারটা) কোণের সমষ্টি কত? তুমি নিশ্চয় বলতে পারবে। যখন বলা হবে ১০০ (বা n ) ভুজের
সব গুলো (১০০ বা n) কোণের সমষ্টি কত? তখন? এস বের করি....
আমাদের শুধু মনে রাখতে হবে যে একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি হল ২ সমকোণ অর্থাৎ 180 । ( কিন্তু কেন? সমাধান আছে একটু পরে)
চিত্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ অর্থাৎ 180 degree ।
এবার কাজ শুরু
১। প্রথমে ভাবি চারভুজ এর কথা। একে তুমি ২ টা ত্রিভুজের মিলন (don’t try to be naughty) বলে চালিয়ে দিতে পারবে।
চিত্রঃ চারভুজ যার সেতো ২ টা ত্রিভুজের মিলনের ফল,তাই না?
২। তাহলে পাঁচ ভুজ যার তার কি হবে? দেখা গেল সে তিন টা ত্রিভুজের মিলন।
চিত্রঃ পাঁচ ভুজ যার, সে কিন্তু তিন ত্রিভুজের বাপ
৩। তুমি যদি উপরের ২ টার মধ্যে কোন মিল খুঁজে পাও তবে বলে দিতে পারবে ৬ ভুজ যার তার কপাল জুড়ে কি আছে? পেরেছ তাইত? সে আসলে চার টা ত্রিভুজের সমষ্টি।
চিত্রঃ যার ভুজ ছয়, ত্রিভুজ সংখ্যা চারের বেশী নয়।
৪। তুমি নিশ্চয় ধরে ফেলেছ আমি কি করতে চাইছি? ঠিক তাই। যত ভুজ সংখ্যা হবে, ত্রিভুজ সংখ্যা হবে তার ২ কম। অর্থাৎ সাত ভুজ বিশিষ্ট হলে ত্রিভুজ সংখ্যা ৫ টি হবে।
চিত্রঃ ভুজ হল সাত, ত্রিভুজ হবে পাঁচ
তাহলে আর বাকে রইল কি? কোণ? ধুর সেটাতো আগেই বলেছি। একটা ত্রিভুজ মানে ২ সমকোণ। আর যেহেতু,
৩ টা ভুজ মানে ১ টা ত্রিভুজ = ২ সমকোণ
৪ টা ভুজ মানে (৪-২)বা, ২ টা ত্রিভুজ = ২x২ বা ৪ সমকোণ
৫ টা ভুজ মানে (৫-২) বা, ৩ টা ত্রিভুজ = ২x ৩ বা ৬ সমকোণ
৬ টা ভুজ মানে (৬-২) বা, ৪ টা ত্রিভুজ = ২x ৪ বা ৮ সমকোণ
................................................................................
n টা ভুজ মানে (n-2) টা ত্রিভুজ = (n-2)x 2 সমকোণ = (n-2) x 2 x 90 = (n-2)X180 degree
এই গেল মূলকথা। কিন্তু তার চেয়ে যেটা বেশী মূলে রয়েছে সেটা হল ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী হতে যাবে কেন?
আমরা ক্লাস ৯-১০ এ শিখেছিলাম যে "ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণ হবে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলোর যোগফলের সমান" ।
প্রথমে ভাবি ত্রিভুজটা সমকোণী। এর AB বাহুকে বর্ধিত করি। তাহলে বহিঃস্থ কোণ হবে ৯০ ডিগ্রী যেহেতু কোণ A হল ৯০ ডিগ্রী (একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দুতে কোণ কত? ১৮০ ডিগ্রী)। আর আগের সূত্র মতে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ২ টি অর্থাৎ কোণ B এবং C এর সমষ্টিও হবে ৯০ ডিগ্রী। অর্থাৎ total ১৮০ ডিগ্রী।
চিত্রঃ সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি (৯০+(কোণ B + কোণ C))=(৯০+৯০)=১৮০ ডিগ্রী
অন্য কোণ ত্রিভুজ যদি হয়। তাহলে একই কাজ করতে হবে। যেমন, নিচের ত্রিভুজের AB কে বর্ধিত করি D পর্যন্ত। তাহলে বহিঃস্থ কোণটি হবে (180-A) ডিগ্রী, অর্থাৎ কোণ B এবং C এর সমষ্টি হবে (180-A)।
সুতরাং, তিন কোণের সমষ্টি (A+180-A) বা 180 ডিগ্রী।
চিত্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী বা ২ সমকোণ।
বুদ্ধিমানরা নিশ্চয় এখন প্রশ্ন করা শিখেছ যে কেন ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণ হবে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলোর যোগফলের সমান হতে যাবে? তাহলে চল try করি।
প্রথমে ধরে নিই ABC ত্রিভুজটা ঠিক নিচেরটার মত।
চিত্রঃ ইহার কথাই ভাবতে বলছি
এইবার BC কে বর্ধিত করি D পর্যন্ত, মানে ডানদিকে টেনে লম্বা করার কথাই বলছি। এইবার C তে AB এর সমান্তরাল করে CE আঁকি। এখনও না বুঝে থাকলে নিচের ছবি টা দেখে নাও
চিত্রঃ বর্ধিত করে পেলাম কোণ ACB এবং কোণ ECD
এইখানে দুইটা বিষয় ঘটে গেল।
১। কোণ BAC= কোণ ACE
২। কোণ ABC=কোণ ECD।
কারণ কি ???
প্রথমে ১ নাম্বারটার উত্তর দিই। BA এবং CE সমান্তরাল (এইভাবেই তো আঁকলাম,তাইনা?) এবং AC রেখা তাদের ছেদক। অর্থাৎ, BAC এবং ACE একান্তর কোণ এবং আমরা জানি একান্তর কোণ পরস্পর সমান হয়।
এইবার ২ নাম্বারটার কথাই আসি। এইখানেও একই কথা BA এবং CE সমান্তরাল এবং BD তাদের ছেদক অর্থাৎ ABC এবং ECD হল অনুরুপ কোণ এবং আমরা জানি অনুরূপ কোণ পরস্পর সমান হয়।
এইবার কাজের কথাই আসি। তার আগে ঘটে যাওয়া ঘটনা ১ এবং ২ আবার দেখে নাও। ACD কোণ মানে কি বলতে পারি?
কোণ ACD = কোণ ACE + কোণ ECD = কোণ BAC + কোণ ABC = কোণ ACD।
কি বুঝা গেল কিছু?
এইভাবেও চিন্তা করতে পার যে, ABC ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি হবেঃ
কোণ ABC + কোণ BAC + কোণ ACB = কোণ ECD + কোণ ACE + কোণ ACB = কোণ ACD + কোণ ACB=১৮০ ডিগ্রী।
(একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দুতে কোণ কত? অবশ্যই ১৮০ ডিগ্রী)।
গোটা ব্যাপারটা কি খুবই জটিল হয়ে গেল? মনে তো হচ্ছে সামান্য হয়ে গেছে...........
_________________________________________________
MD.Aticul-Alam
Department of Electrical and Electronic Engineering
Khulna University of Engineering and Technology