টপিকঃ বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আমার ছোট ভাই দেখছি মানুষকে গণিত শিখাবার এক ভয়াবহ কান্ডের তোড়জোড় শুরু করেছে। ইতিমধ্যে শুরু করেছে "গণিত নিয়ে টুকিটাকি" নামের একটি সিরিজ। এরই ফাঁকতালে দেখি "বহুভূজের কোণের সমষ্টি" প্রসব করে ফেলল...
------------------------

কিছুদিন আগে চায়ের দোকানে বসে আড্ডা দেবার সময় এই প্রশ্নের সম্মুখীন হয়েছিলাম যে,
বহুভুজের সবগুলো কোণের সমষ্টি কত, যেখানে ভুজ সংখ্যা n ?
এইক্ষেত্রে সমাধান হল (n-2) x 180 ।

প্রশ্ন হল কিভাবে?

খুব সহজ। তার আগে প্রশ্নটা বুঝে নিই। ধর তোমাকে বলা হল একটা ত্রিভুজের (তিন ভুজ) সবগুলো (তিনটা) কোণের সমষ্টি কত অথবা চতুর্ভুজের (চার ভুজ) সবগুলো (চারটা) কোণের সমষ্টি কত? তুমি নিশ্চয় বলতে পারবে। যখন বলা হবে ১০০ (বা n ) ভুজের
সব গুলো (১০০ বা n) কোণের সমষ্টি কত? তখন? এস বের করি....

আমাদের শুধু মনে রাখতে হবে যে একটি ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি হল ২ সমকোণ অর্থাৎ 180 ।  ( কিন্তু কেন? সমাধান আছে একটু পরে)
http://img5.imageshack.us/img5/8039/dvi.jpg

চিত্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ২ সমকোণ অর্থাৎ 180 degree ।

এবার কাজ শুরু

১। প্রথমে ভাবি চারভুজ এর কথা। একে তুমি ২ টা ত্রিভুজের মিলন (don’t try to be naughty) বলে চালিয়ে দিতে পারবে।
http://img526.imageshack.us/img526/7140/8kle.jpg

চিত্রঃ চারভুজ যার সেতো ২ টা ত্রিভুজের মিলনের ফল,তাই না?

২। তাহলে পাঁচ ভুজ যার তার কি হবে? দেখা গেল সে তিন টা ত্রিভুজের মিলন।
http://img850.imageshack.us/img850/7991/wjf.jpg

চিত্রঃ পাঁচ ভুজ যার, সে কিন্তু তিন ত্রিভুজের বাপ

৩। তুমি যদি উপরের ২ টার মধ্যে কোন মিল খুঁজে পাও তবে বলে দিতে পারবে ৬ ভুজ যার তার কপাল জুড়ে কি আছে? পেরেছ তাইত? সে আসলে চার টা ত্রিভুজের সমষ্টি।
http://img153.imageshack.us/img153/5943/5vhe.jpg

চিত্রঃ যার ভুজ ছয়, ত্রিভুজ সংখ্যা চারের বেশী নয়।

৪। তুমি নিশ্চয় ধরে ফেলেছ আমি কি করতে চাইছি? ঠিক তাই। যত ভুজ সংখ্যা হবে, ত্রিভুজ সংখ্যা হবে তার ২ কম। অর্থাৎ সাত ভুজ বিশিষ্ট হলে ত্রিভুজ সংখ্যা ৫ টি হবে।
http://img855.imageshack.us/img855/928/qzs2.jpg

চিত্রঃ ভুজ হল সাত, ত্রিভুজ হবে পাঁচ

তাহলে আর বাকে রইল কি? কোণ? ধুর সেটাতো আগেই বলেছি। একটা ত্রিভুজ মানে ২ সমকোণ। আর যেহেতু,

৩ টা ভুজ মানে ১ টা ত্রিভুজ              = ২ সমকোণ
৪ টা ভুজ মানে (৪-২)বা, ২ টা ত্রিভুজ = ২x২ বা ৪ সমকোণ
৫ টা ভুজ মানে (৫-২) বা, ৩ টা ত্রিভুজ = ২x ৩ বা ৬ সমকোণ
৬ টা ভুজ মানে (৬-২) বা, ৪ টা ত্রিভুজ = ২x ৪ বা ৮ সমকোণ

................................................................................

n টা ভুজ মানে (n-2) টা ত্রিভুজ = (n-2)x 2 সমকোণ = (n-2) x 2 x 90 = (n-2)X180 degree

এই গেল মূলকথা। কিন্তু তার চেয়ে যেটা বেশী মূলে রয়েছে সেটা হল ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী হতে যাবে কেন?

আমরা ক্লাস ৯-১০ এ শিখেছিলাম যে "ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণ হবে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলোর যোগফলের সমান"
প্রথমে ভাবি ত্রিভুজটা সমকোণী। এর AB বাহুকে বর্ধিত করি। তাহলে বহিঃস্থ কোণ হবে ৯০ ডিগ্রী যেহেতু কোণ A হল ৯০ ডিগ্রী (একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দুতে কোণ কত? ১৮০ ডিগ্রী)। আর আগের সূত্র মতে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণ ২ টি অর্থাৎ কোণ B এবং C এর সমষ্টিও হবে ৯০ ডিগ্রী। অর্থাৎ total ১৮০ ডিগ্রী।
http://img834.imageshack.us/img834/7543/xvhq.jpg

চিত্রঃ সমকোণী ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি (৯০+(কোণ B + কোণ C))=(৯০+৯০)=১৮০ ডিগ্রী

অন্য কোণ ত্রিভুজ যদি হয়। তাহলে একই কাজ করতে হবে। যেমন, নিচের ত্রিভুজের AB কে বর্ধিত করি D পর্যন্ত। তাহলে বহিঃস্থ কোণটি হবে (180-A) ডিগ্রী, অর্থাৎ কোণ B এবং C এর সমষ্টি হবে (180-A)।
সুতরাং, তিন কোণের সমষ্টি (A+180-A) বা 180 ডিগ্রী।

http://img22.imageshack.us/img22/8733/ftwy.jpg

চিত্রঃ ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী বা ২ সমকোণ।

বুদ্ধিমানরা নিশ্চয় এখন প্রশ্ন করা শিখেছ যে কেন ত্রিভুজের যেকোন বাহুকে বর্ধিত করলে বহিঃস্থ কোণ হবে অন্তঃস্থ বিপরীত কোণগুলোর যোগফলের সমান হতে যাবে? তাহলে চল try করি।
প্রথমে ধরে নিই ABC ত্রিভুজটা ঠিক নিচেরটার মত।
http://img826.imageshack.us/img826/3823/y7l8.jpg

চিত্রঃ ইহার কথাই ভাবতে বলছি

এইবার BC কে বর্ধিত করি D পর্যন্ত, মানে ডানদিকে টেনে লম্বা করার কথাই বলছি। এইবার C তে AB এর সমান্তরাল করে CE আঁকি। এখনও না বুঝে থাকলে নিচের ছবি টা দেখে নাও
http://img707.imageshack.us/img707/9573/huq3.jpg

চিত্রঃ বর্ধিত করে পেলাম কোণ ACB এবং কোণ ECD

এইখানে দুইটা বিষয় ঘটে গেল।
১। কোণ BAC= কোণ ACE
২। কোণ ABC=কোণ ECD।

কারণ কি ???

প্রথমে ১ নাম্বারটার উত্তর দিই। BA এবং CE সমান্তরাল (এইভাবেই তো আঁকলাম,তাইনা?) এবং AC রেখা তাদের ছেদক। অর্থাৎ, BAC এবং ACE একান্তর কোণ এবং আমরা জানি একান্তর কোণ পরস্পর সমান হয়।
এইবার ২ নাম্বারটার কথাই আসি।  এইখানেও একই কথা BA এবং CE সমান্তরাল এবং BD তাদের ছেদক অর্থাৎ ABC এবং ECD হল অনুরুপ কোণ এবং আমরা জানি অনুরূপ কোণ পরস্পর সমান হয়।
এইবার কাজের কথাই আসি। তার আগে ঘটে যাওয়া ঘটনা ১ এবং ২ আবার দেখে নাও। ACD কোণ মানে কি বলতে পারি?
                         কোণ ACD = কোণ ACE + কোণ ECD = কোণ BAC + কোণ ABC = কোণ ACD।
কি বুঝা গেল কিছু?

এইভাবেও চিন্তা করতে পার যে, ABC ত্রিভুজের তিন বাহুর সমষ্টি হবেঃ

কোণ ABC + কোণ BAC + কোণ ACB = কোণ ECD + কোণ ACE + কোণ ACB = কোণ ACD + কোণ ACB=১৮০ ডিগ্রী।
(একটি সরলরেখার যেকোনো বিন্দুতে কোণ কত? অবশ্যই ১৮০ ডিগ্রী)।

গোটা ব্যাপারটা কি খুবই জটিল হয়ে গেল? মনে তো হচ্ছে সামান্য হয়ে গেছে........... isee

_________________________________________________

MD.Aticul-Alam
Department of Electrical and Electronic Engineering
Khulna University of Engineering and Technology

“যে ব্যক্তি ক্ষুধার্তকে অন্নদান করে, আল্লাহপাক তাকে জান্নাতে ফল খাওয়াবেন। যে তৃষ্ণার্তকে পানি পান করায়, আল্লাহ তাকে জান্নাতে শরবত পান করাবেন। যে কোন দরিদ্রকে বস্ত্র দান করে আল্লাহপাক তাকে জান্নাতে পোষাক দান করবেন”। (তিরমিযী)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আমি ব্যাপারটা বুঝি একটু অন্যভাবে।

যে কোনো বাহুবিশিষ্ট রেগুলার সাইজের একটা বহুভূজ নেন। এরপর এর অভ্যন্তরে যে কোনো একটা বিন্দু দেন। ঐ বিন্দুকে শীর্ষ ধরে প্রতিটি বাহুতে একটি করে ত্রিভুজ হবে। (বিন্দুটিকে প্রতিটি বাহুর প্রান্তের সাথে যুক্ত করুন)। যতগুলো বাহু ততগুলো ত্রিভুজ। অর্থাৎ মোট কোণের সমষ্টি: n সংখ্যক বাহুর জন্য n*180। এর মধ্যে কেন্দ্রে বা ঐ বিন্দুটিকে ঘিরে সবগুলো ত্রিভুজের শীর্ষকোণগুলোর সমষ্টি 360, তাই ওটা বাদ দিলে বহুভুজের সবগুলো কোণের সমষ্টি পাওয়া যায়। অর্থাৎ 180n-360 => 180(n-2)

https://lh4.googleusercontent.com/-T3Hxt1BX_ws/UeAO7XQivYI/AAAAAAAACFk/5Lv3gpxTwyY/s400-no/Polygon-angles.gif

পরিবেশ প্রকৌশলী'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি CC by-nc-sa 3.0 এর অধীনে প্রকাশিত

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

এই জিনিষ ছোটবেলায় টয়লেটে বসে আবিস্কার করেছিলাম। তবে পরে বইতে অলরেডি আছে দেখে মনটা খারাপ হয়েছিল।
আমি এটা আরও সহজে বের করেছিলাম।

নিচের লাইনটা দেখুন।

__________________________

এটাকে একটা সরল রেখা বলতে পারেন। অথবা বলতে পারেন একটা কোন যা কিনা ১৮০ ডিগ্রিতে বেকে আছে।  হ্যা। এটা ১৮০ ডিগ্রিতে বাঁকানো।  এই মূলনীতিটা দিয়েই আরোহ পদ্ধতিতে প্রমান করা যায় আপনার সুত্র।

যে কোন একটা ত্রিভুজ নিন।

               /\
             /    \
           /        \
         /            \
       /                \
     -----------------

এটাতে ৩টি কোন আছে।  এবার এটাকে চতুর্ভুজ বানাই। প্রতিটা সরলরেখাই কিন্তু ১৮০ ডিগ্রিতে বাঁকানো কোন ধরা যায়। সেক্ষেত্রে যে কোন একটি বাহুকে ধরে কোন। তাহলে

৪ কোনের সমস্টি হবে ৪ সমকোন

এভাবে আরও একটি বাহু ধরুন। কোন কল্পনা করুন। তাহলে ৫ কোনের সমস্টি হবে ৬ সমকোন। এভাবে একের পর এক কোন বাড়াতে পারেন। একটা সরল রেখায় একটা কোন থাকবে তা না। অসংখ্য কোন আছে।

সহজ ভাবে বুঝতে চাইলে একটা বাহুর মাঝ থেকে ধরে টান দিন বাইরের দিকে। একটা বিশাল স্থুল কোনের সৃষ্টি হবে। এইকোনের সাইজ ১৮০ থেকে কমে গেছে দেখে কোনের মত লাগছে। এটা কমার সাথে সাথে কিন্তু মূল ত্রিভুজের দুটো কোন বেড়ে গেছে। এভাবে একের পর এক নতুনকোন তৈরী করা যায়। প্রতিটি কোনই শুরু হবে ১৮০ থেকে। পরে একটু কমে যাবে। অর্থাৎ প্রতিটা বাহুতে অসংখ্য ১৮০ ডিগ্রি কোন আছে। প্রয়োজন মত বের করে নিলেই হল।

Feed থেকে ফোরাম সিগনেচার, imgsign.com
ব্লগ: shiplu.mokadd.im
মুখে তুলে কেউ খাইয়ে দেবে না। নিজের হাতেই সেটা করতে হবে।

শিপলু'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি GPL v3 এর অধীনে প্রকাশিত

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

পরিবেশ প্রকৌশলী লিখেছেন:

আমি ব্যাপারটা বুঝি একটু অন্যভাবে।

যে কোণ বাহুবিশিষ্ট রেগুলার সাইজের একটা বহুভূজ নেন। এরপর এর অভ্যন্তরে যে কোনো একটা বিন্দু দেন। ঐ বিন্দুকে শীর্ষ ধরে প্রতিটি বাহুতে একটি করে ত্রিভুজ হবে। (বিন্দুটিকে প্রতিটি বাহুর প্রান্তের সাথে যুক্ত করুন)। যতগুলো বাহু ততগুলো ত্রিভুজ। অর্থাৎ মোট কোণের সমষ্টি: n সংখ্যক বাহুর জন্য n*180। এর মধ্যে কেন্দ্রে বা ঐ বিন্দুটিকে ঘিরে সবগুলো ত্রিভুজের শীর্ষকোণগুলোর সমষ্টি 360, তাই ওটা বাদ দিলে বহুভুজের সবগুলো কোণের সমষ্টি পাওয়া যায়। অর্থাৎ 180n-360 => 180(n-2)

https://lh4.googleusercontent.com/-T3Hxt1BX_ws/UeAO7XQivYI/AAAAAAAACFk/5Lv3gpxTwyY/s400-no/Polygon-angles.gif

খুব সোজা তো,,,,,,,

স্নিগ্ধ শুভ্রতায় আমি. . . . .

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আবারও একটি চমৎকার টপিক পেলাম আপনার থেকে  thumbs_up বিষয়টা এভাবে বুঝিয়ে দেওয়ার জন্য ধন্যবাদ।

"No ship should go down without her captain."

হৃদয়১'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি LGPL এর অধীনে প্রকাশিত

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

অনেক কিছু জানা গেল । ধন্যবাদ এরকম টপিকের জন্য।

এই ব্যাক্তির সকল লেখা কাল্পনিক , জীবিত অথবা মৃত কারো সাথে মিল পাওয়া গেলে তা সম্পুর্ন কাকতালীয়, যদি লেখা জীবিত অথবা মৃত কারো সাথে মিলে যায় তার দায় এই আইডির মালিক কোনক্রমেই বহন করবেন না। এই ব্যক্তির সকল লেখা পাগলের প্রলাপের ন্যায় এই লেখা কোন প্রকার মতপ্রকাশ অথবা রেফারেন্স হিসাবে ব্যবহার করা যাবে না।

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি কিন্তু ১৮০ডিগ্রি থেকে বেশীও হতে পারে আবার কমও হতে পারে। ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুসারে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রি।

সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন ফায়ারফক্স (১২-০৭-২০১৩ ২১:৫৯)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আমি একটা অফটপিক করিঃ
ছোট বেলায় স্কুলে কোন কাকে বলে জিজ্ঞেস করাতে বলেছিলাম দূটি সরল রেখা মিলিত হলে কোণের সৃষ্টি হয় বা তাকে কোণ বলে
বয়স্ক স্যারের ধমক ...... এটা কিছু হইল??  দুটি রেখা কোনা কুনি (বাঁকা ভাবে)  মিলিত হলে কোনের সৃষ্টি হয়
আমি বললাম স্যার সোজা মিললেও তো সরল কোন বা দুই সমকোণ হয়
ওনার জবাব সরল কোন কোন কোন না, ওটা কোন উদাহরণ নয় ওটা দুনিয়ায় একটাই ইত্যাদি ইত্যাদি ......... 
চিন্তা করেন একজন সরকারী প্রাইমারী শিক্ষকের এমন জবাব!!!! আজব
দেশে মেয়েরা মাত্র এসএসসি পাস করে প্রাইমারীর শিক্ষক হতে পারে যা অন্তত এইসএসসি+পিটিআই করা উচিৎ
কারণ মোটামুটি ৮/৯ পাস করা যে কেউ ( আসলেই যে কেউ )  যদি ৪ মাস নিয়মিত বিগত প্রাইমারী নিয়োগ পরীক্ষার প্রশ্ন সলভ করে প্লাস একই টাইপ প্রশ্ন প্রাকটিস করে সে নিয়োগ এ টিকবে,  আর একটু রাজনৈতিক প্রভাব থাকলে তো সোনায় সোহাগা

আমার কথার সারমর্ম হল এই জ্যামিতি বা বেসিক গণিতের শুরু প্রাথমিক বিদ্যালয়ে হয় সেখানে যোগ্য শিক্ষক পেলে শিশুদের ভবিষ্যৎ গণিত ও বিজ্ঞান ভীতি দূর হবে

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আগন্তুক মিলন লিখেছেন:

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি কিন্তু ১৮০ডিগ্রি থেকে বেশীও হতে পারে আবার কমও হতে পারে। ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুসারে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রি।

আরেকটু জানতে চাচ্ছি। ঝেড়ে কাশুন।  thinking

পরিবেশ প্রকৌশলী'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি CC by-nc-sa 3.0 এর অধীনে প্রকাশিত

১০ সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন ফায়ারফক্স (১২-০৭-২০১৩ ২২:১৬)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

একটি গোলক বা বলের উপর ত্রিভুজ আকলে তার সমষ্টি ২ সমকোণের বেশী হবে  neutral

শামীম ভাইয়ের টপিক চুরি হল নাকি??
http://www.banglanews24.com/detailsnews … 2013208709

১১

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

ফায়ারফক্স লিখেছেন:

একটি গোলক বা বলের উপর ত্রিভুজ আকলে তার সমষ্টি ২ সমকোণের বেশী হবে  neutral

শামীম ভাইয়ের টপিক চুরি হল নাকি??
http://www.banglanews24.com/detailsnews … 2013208709

সমতল না হলে তো আর কথা বাড়িয়ে লাভ নাই ... ... ... ত্রিভুজের রেখাগুলোই তো আর সরলরেখা থাকলো না


টপিক চুরি হয়নি:
এটা ঢাকা ইউনিভার্সিটির একটা অনন্য উন্নয়ন / আবিষ্কার। সেই টেড টকে প্রফেসর রাব্বানীর লেকচার দেখে মুগ্ধ হয়ে গিয়েছিলাম। এটাও হয়তো সেটারই আরেকটু বর্ধিত রূপ। এটার প্রচার দরকার।

১২

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

কোন কথা নয়! প্লাস!!!  thumbs_up thumbs_up thumbs_up

OH DEAR NEVER FEAR SAIF IS HERE
BOSS অর্থাৎ সাইফ
Cloud Hosting BossHostBD

১৩

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

এখানে যেটা আলোচনা হচ্ছে সেটা ইউক্লিডিও
আবার রেমিনিয়ান অনুসারে সরল রেখা বড় কথা নয় সেটা আলোচনা হয় ত্রিমাত্রিক হিসেবে
প্রতিটি বাহুর থিকনেসও আলোচনায় আসে, শুধু জটিল নয় কুটিলও বটে  neutral

১৪ সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন invarbrass (১২-০৭-২০১৩ ২২:৫৬)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

পরিবেশ প্রকৌশলী লিখেছেন:
আগন্তুক মিলন লিখেছেন:

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি কিন্তু ১৮০ডিগ্রি থেকে বেশীও হতে পারে আবার কমও হতে পারে। ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুসারে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রি।

আরেকটু জানতে চাচ্ছি। ঝেড়ে কাশুন।  thinking

কার্ভড সারফেসে ইউক্লিডিয়ান জিওমেট্রী খাটে না - এর জন্য প্রয়োজন নন-ইউক্লিডিয়ান এলিপ্টিক/হাইপারবোলিক জিওমেট্রী। স্ফেরিকাল জিওমেট্রী/টৃগোনোমেট্রীর জন্য এখানে দেখুন।

ইউক্লিডিয়ান জিওমেটৃ মূলতঃ ফ্ল্যাট সার্ফেসে প্রযোজ্য।

আপডেটঃ উইকিতে নীচের এই চমৎকার ডেমনসট্রেশন ইমেজটি পেলাম। প্রথমে ইনসেটের (ফ্ল্যাট সারফেসে) ট্রায়াঙ্গলটি খেয়াল করুনঃ ইউক্লিডিয়ান জিওমেট্রী অনুসারে ত্রিভুজের কৌণিক সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রী হওয়া উচিৎ, এবং তাই দেখা যাচ্ছে। এবার আরও বড় পরিসরে গ্লোবের স্ফেরিকাল সার্ফেস-এ অংকিত ত্রিভুজটি খেয়াল করুন। এ ক্ষেত্রে রিম্যানিয়ান (Bernhard Riemann) এলিপ্টিকাল জিওমেটৃ প্রযোজ্য হচ্ছেঃ
http://i.imgur.com/yYs1Ayp.jpg

অন্যদিকে Nicolai Lobachevsky দেখিয়েছিলেন হাইপারবোলিক সারফেসে ত্রিভুজের কৌণিক সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রীর কম হয়ঃ
http://i.imgur.com/bpnGN7x.png
নীচের ইমেজে হাইপারবলিক ত্রিভুজের সাথে আল্ট্রাপ্যারালেল লাইনঃ
http://i.imgur.com/ml4nFdt.png

Calm... like a bomb.

১৫

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

কথা হচ্ছে ইউক্লিডিও জ্যামিতি নিয়েই। সেখানে মাত্রা আনার কারণ দেখি না। কনটেক্সট অনুসারে ত্রিভুজের ৩ কোনের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। এটা সবসময়েই। আর বক্র রেখাই যদি ব্যবহার হয় তাহলে আর ত্রিভুজ থাকে কিভাবে?

Feed থেকে ফোরাম সিগনেচার, imgsign.com
ব্লগ: shiplu.mokadd.im
মুখে তুলে কেউ খাইয়ে দেবে না। নিজের হাতেই সেটা করতে হবে।

শিপলু'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি GPL v3 এর অধীনে প্রকাশিত

১৬

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

বক্রতল বরাবর দুটি পয়েন্টের ক্ষুদ্রতম দূরত্বের লজিকে হয়তো হবে। তবে ঐ জিওমেট্রি না পড়ে জেনে মন্তব্য করাটা মনে হয় ঠিক হবে না -- তাই অফ গেলাম।

গতিশীল মহাবিশ্বে দুটি পয়েন্টের ক্ষুদ্রতম দূরত্ব সরলরৈখিক নয় -- এমন একটা কনসেপ্ট জানতাম।

এই টপিকটা পুরাপুরি ইউক্লিডিয় সমতলের জ্যামিতি নিয়ে। তবে অসমতল জিওমেট্রি নিয়ে আলোচনা বিস্তার লাভ শুরু করার জন্য এটা একটা ভাল স্টার্টিং পয়েন্ট হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে।

শামীম'এর ওয়েবসাইট

লেখাটি CC by-nc-sa 3.0 এর অধীনে প্রকাশিত

১৭ সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন হাতি (১৩-০৭-২০১৩ ০০:১০)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

আরে বাবা এত মানুষ জ্যামিতি বুঝে surprised

জানতে চাই অনেক কিছু

১৮

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

যাক আমি কিছু শিখতে পারছি,,,,দারুন মজা পেয়েছি।

স্নিগ্ধ শুভ্রতায় আমি. . . . .

১৯ সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন @m0N (১৪-০৭-২০১৩ ০২:২৪)

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

পরিবেশ প্রকৌশলী লিখেছেন:
আগন্তুক মিলন লিখেছেন:

ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি কিন্তু ১৮০ডিগ্রি থেকে বেশীও হতে পারে আবার কমও হতে পারে। ইউক্লিডিও জ্যামিতি অনুসারে ত্রিভুজের তিন কোনের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রি।

আরেকটু জানতে চাচ্ছি। ঝেড়ে কাশুন।  thinking

” ELEMENTS ” , জ্যামিতি শাস্ত্রের এক মহাগ্রন্থ । ৩০০ সাল থেকে উনিশ শতকের গোঁড়া পর্যন্ত জ্যামিতি বলতে বোঝাত ইউক্লিডের হাতে গড়া এই এলিমেন্টস্ বইটিকেই। দীর্ঘ দুই হাজার বছর ধরে ইউক্লিডীয় জ্যামিতি একচেটিয়াভাবে শাসন করেছে জ্যামিতি শাস্ত্রকে । সমগ্র ইউরোপের বাঘা বাঘা সব পণ্ডিতেরা ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অগ্রাহ্য করার চিন্তা ভুলেও কখনও মাথায় আনতেন না। ভাবা যায়? কতখানি প্রভাব বিস্তার করলে এমনটি হওয়া সম্ভব! সত্যিকার অর্থে , সে সময় সারা পৃথিবীতে যারা জ্ঞান বিজ্ঞানে নেতৃত্ব দিতেন, নেতৃত্ব দিতেন বৈজ্ঞানিক চেতনার,তাদেরও বদ্ধমূল ধারণা ছিল যে, ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অস্বীকার করে নতুন তত্ত্ব আবিষ্কার করা পাগলামি আর মূঢ়তা ছাড়া আর কিছুই নয়। কিন্তু পাগলামি করার জন্য লোকের কী আর অভাব হয়!

হ্যাঁ, কার্ল ফ্রেডরিক গাউস, সর্বকালের শ্রেষ্ঠতম গণিতবিদদের একজন,প্রথম বিরোধিতা করলেন ইউক্লিডকে। তাঁর হাতেই সূত্রপাত ঘটে Non-Eucledian Geometry-র। কীভাবে ?

গাউস দৃঢ় ভাবে বিশ্বাস করতেন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম (!) । এই সত্যতা প্রমাণ করার জন্য তিনি এক অদ্ভুত কাণ্ড ঘটালেন । কী রকম? তিনজন লোককে তিনি তিনটি পাহাড়ের মাথায় উঠালেন । প্রত্যেকে তার নিজের সঙ্গে অন্য দুজনের মধ্যে যে কোণ উৎপন্ন করল তা বের করলেন ।তিনটি কোণের মাপ তিনজনের কাছ থেকে আলাদাভাবে নিলেন গাউস , তারপর কোণ তিনটি যোগ করলেন । দেখা গেল যোগফল ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে কম! কিন্তু গাউসের প্রিয় শিষ্য এবং অসামান্য প্রতিভাধর গণিতবিদ রেইম্যান আবার প্রমাণ করে দেখালেন যে, কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রির চেয়ে বেশী ! ! !

http://i.imgur.com/x1QxX.png

মতপার্থক্য থাকা স্বাভাবিক । কিন্তু যে ব্যাপারে গাউস,রেইম্যান একমত হলেন তা হলো, কোন একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল যতো ছোট হবে ততোই ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ধীরে ধীরে ১৮০ডিগ্রীর কাছাকাছি আসবে। আবার বিপরীত ভাবে কোন ত্রিভুজের আকৃতি যতো বড় হবে ততোই ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ধীরে ধীরে ১৮০ডিগ্রী থেকে সরে আসবে।

শিপলু লিখেছেন:

কথা হচ্ছে ইউক্লিডিও জ্যামিতি নিয়েই। সেখানে মাত্রা আনার কারণ দেখি না। কনটেক্সট অনুসারে ত্রিভুজের ৩ কোনের সমষ্টি ১৮০ ডিগ্রি। এটা সবসময়েই। আর বক্র রেখাই যদি ব্যবহার হয় তাহলে আর ত্রিভুজ থাকে কিভাবে?

গাউস দৃঢ়ভাবে বিশ্বাস করেন , সীমিত ক্ষেত্রে ইউক্লিডের ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি ১৮০ডিগ্রী-র জ্যামিতিক তত্ত্বটি খাটলেও সীমাহীন ক্ষেত্রে অথবা মহাজাগতিক ক্ষেত্রে অ- ইউক্লিডীয় তত্ত্বকে প্রয়োগ করাই যুক্তিযুক্ত।

অথচ দুই হাজার বছর ধরে ইউক্লিড বলেছেন, কোন ত্রিভুজের তিন কোণের সমষ্টি কাঁটায় কাঁটায় ১৮০ ডিগ্রী । সারা পৃথিবীর মত আমাদের দেশের মানুষও তাই জানে এবং স্কুল-কলেজে সেটাই পড়ানো হয়। কিন্তু দু:খের বিষয় এই যে, আধুনিক কালের কার্ল ফ্রেডরিক গাউস বা অন্যদের আবিষ্কৃত অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতি সম্বন্ধে আমাদের স্কুল-কলেজ গুলোতে কোন ধারণাই দেয়া হয় না, শেখানো তো দূরের কথা। আমাদের দেশ ছাড়া উন্নত-উন্নয়নশীল প্রায় সব দেশেই অ- ইউক্লিডীয় জ্যামিতিকে অতি গুরুত্বের সঙ্গে দেখা হয়। সঙ্গত কারণেই বোধহয় একবিংশ শতাব্দীতে দাঁড়িয়েও আমরা আধুনিক গণিত শাস্ত্র থেকে অনেক যোজন দূরে অবস্থান করছি।  ত্রিভূজের তিন কোনের আগে উল্লেখ করতে হবে পন্চম পস্টুলেটটি, যেটি প্যারালাল পস্টুলেট হিসাবে খ্যাত। If a line segment intersects two straight lines forming two interior angles on the same side that sum to less than two right angles, then the two lines, if extended indefinitely, meet on that side on which the angles sum to less than two right angles.If the sum of the two interior angles equals 180°, the lines are parallel and will never intersect. ঐ দুইটি লাইনকে আমরা সমান্তরাল সরল রেখা বলি। পস্টুলেট হলো যার কোন প্রমাণ নেই অথচ তাকে সত্য বলে ধরে নেয়া হয়। ঐ প্যারালাল পস্টুলেটটির বিষয়ে ইউক্লিডের নিজের মনেও খটকা ছিল। গণিতবিদ আল হাইয়াম (Al Hazen) (৯৬৫-১০৩৯) প্রথম চেস্টা করেছিলেন সেটি প্রমান করার। অপর গণিতবিদ ওমর খৈয়াম (১০৫০-১১২৩) প্যারালাল পস্টুলেটে সন্দেহ প্রকাশ করেন এবং তাকে ভুল প্রমাণ করতে গিয়ে নন-ইউক্লিডিয়ান পস্টুলেট তৈরীর প্রচেস্টা করেন। এবং তিনিই এলিপটিকাল ও হাইপারবোলিক জ্যমিতির ধারণার জন্ম দেন। আরও একজন গণিতবিদ নাসির আল দিন আল তুসিও (১২০১-১২৭৪) এলিপটিকাল ও হাইপারবোলিক জ্যমিতির উপর কাজ করেন। আল তুসির ছেলে সাদর আল দিন পিতার কাজের উপর একটি গ্রন্থ রচনা করেন। যা পরবর্তিতে রোম থেকে প্রকাশিত হয়। এই সব কিছুর অনেক পরে গাউস (১৭৭৭-১৮৫৫), রিমান ও লোবাচেভস্কি নন-ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির উপর কাজ করেন।

ইউক্লিডীয় জ্যামিতির কাঠামোর ভেতরেই বিশ্লেষণী, অভিক্ষেপী ও বিবরণমূলক জ্যামিতির আবর্ভাব ঘটে। বহু শতাব্দী ধরে গণিতবিদেরা বিশ্বাস করতেন যে অনন্য সমান্তরাল রেখা সংক্রান্ত ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটি বাকী চারটি স্বতঃসিদ্ধ থেকে প্রমাণ করা যাবে, কিন্তু এই প্রমাণ বের করার সমস্ত চেষ্টা ব্যর্থ হয়। কিন্তু ১৯শ শতকে এসে নতুন নতুন জ্যামিতিক ব্যবস্থা উদ্ভাবন করা হয় যেগুলিতে ইউক্লিডের পঞ্চম স্বতঃসিদ্ধটিকে অন্য কিছু দিয়ে প্রতিস্থাপন করা হয়। এইসব নতুন ধরনের অ-ইউক্লিডীয় জ্যামিতির উদ্ভাবনে নেতৃত্ব দেন কার্ল ফ্রিড্‌রিশ গাউস, ইয়ানোশ বলিয়ই, নিকলাই লবাচেভ্‌‌স্কি এবং গেয়র্গ ফ্রিড্‌রিশ বের্নহার্ট রিমান।

১৮৭২ সালে জার্মান গণিতবিদ ফেলিক্স ক্লাইন গণিতের একটি অপেক্ষাকৃত নবীন শাখা গ্রুপ তত্ত্ব ব্যবহার করে তাঁর সময়কার সমস্ত জ্যামিতিক ব্যবস্থাগুলিকে এক ব্যবস্থার অধীনে আনেন। ১৮৯৯ সালে আরেকজন জার্মান গণিতবিদ ডেভিড হিলবার্ট তাঁর Foundations of Geometry বইটি প্রকাশ করেন, যাতে ইউক্লিডীয় জ্যামিতির জন্য স্বতঃসিদ্ধসমূহের একটি সুশৃঙ্খল ব্যবস্থা প্রদান করা হয় এবং এটি গণিতের অন্যান্য শাখায় গভীর প্রভাব ফেলে।

১৯১৬ সালে আইনস্টাইনের আপেক্ষিকতা তত্ত্ব অনুসারে দেখা যায় অনেক ভৌত ঘটনা জ্যামিতিক মূলনীতি থেকে উপনীত হওয়া সম্ভব। এই তত্ত্বের সাফল্য অন্তরক জ্যামিতি ও টপোগণিতের গবেষণায় জোয়ার আনে।

১৯শ শতকের ব্রিটিশ গণিতবিদ আর্থার কেলি চার বা তারও বেশি মাত্রার জ্যামিতি প্রবর্তন করেন। ১৯শ শতকে ফ্র্যাক্টাল মাত্রার আলোচনা শুরু হয়। ১৯৭০-এর দশকে ফ্র্যাক্টালের ধারণা কাজে লাগিয়ে জ্যামিতির নতুন শাখা ফ্র্যাক্টাল জ্যামিতির উদ্ভব হয়।

থ্রি-বডি প্রব্লেম সমাধান করতে গিয়ে জ্যামিতিক গণিতের একটা পুরোপুরি নতুন শাখাই সৃষ্টি হয়ে গেল বলতে গেলে। শাখাটির নাম ‘টপলজি’ যার সঠিক বাংলা আজ পর্যন্ত হয়েছে বলে আমার জানা নেই। (পরাজ্যামিতি বলা ঠিক হবে কি?)এই নতুন জ্যামিতি অনুযায়ী একটি বর্গক্ষেত্র আর একটি বৃত্তের মাঝে (দুয়ের ভেতরটা যেন একইরকমভাবে ফাঁকা থাকে) প্রকৃতিগত কোনও প্রভেদ নেই—দুটোই টেনেটুনে ছোট আকারে সংকুচিত করে করে বিন্দুতে পরিণত করা যায়, সুতরাং পরাজ্যামিতিক দৃষ্টিভঙ্গিতে তারা অভিন্ন। স্পষ্টতই গতানুগতিক ইউক্লিডিয়ান জ্যামিতির সঙ্গে আকাশপাতাল তফাৎ।

কৃতজ্ঞতা মীজান রহমান,  সাদিক ফয়সাল,  ড. রমিত আজাদ এবং উইকিপিডিয়া।

hit like thunder and disappear like smoke

২০

Re: বহুভূজের কোণের সমষ্টি

সকল মন্তব্য পড়ে সুনির্মল বসুকে মনে পড়ে গেল-

"বিশ্বজোড়া পাঠশালা মোর,
সবার আমি ছাত্র,
নানান ভাবে নতুন জিনিস
শিখছি দিবারাত্র।

এই পৃথিবীর বিরাট খাতায়,
পাঠ্য যেসব পাতায় পাতায়
শিখছি সে সব কৌতূহলে,
নেই দ্বিধা লেশমাত্র।"

“যে ব্যক্তি ক্ষুধার্তকে অন্নদান করে, আল্লাহপাক তাকে জান্নাতে ফল খাওয়াবেন। যে তৃষ্ণার্তকে পানি পান করায়, আল্লাহ তাকে জান্নাতে শরবত পান করাবেন। যে কোন দরিদ্রকে বস্ত্র দান করে আল্লাহপাক তাকে জান্নাতে পোষাক দান করবেন”। (তিরমিযী)