টপিকঃ পারফেক্ট নাম্বার

পারফেক্ট নাম্বার
Perfect Number

সেই সমস্ত সংখ্যাকে Perfect number বলা হয়, যখন সেই সংখ্যার সকল factor (সংখ্যা অপেক্ষা ছোটো) গুলির সমস্টি সেই সংখ্যাটির সমান হয়।
যেমন ৬ একটি Perfect number, কারণঃ  ৬ = ১+২+৩।
এমনি ভাবে আরো কিছু Perfect number এর উদাহরন হচ্ছে
২৮ = ১+২+৪+৭+১৪
৪৯৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩১+৬২+১২৪+২৪৮
৮১২৮ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৭+২৫৪+৫০৮+১০১৬+২০৩২+৪০৬৪।
৩৩৫৫০৩৩৬ = ১+২+৪+৮+১৬+৩২+৬৪+১২৮+২৫৬+৫১২+১০২৪+২০৪৮+৪০৯৬+৮১৯১+১৬৩৮২+৩২৭৬৪+৬৫৫২৮+১৩১০৫৬+২৬২১১২+৫২৪২২৪+১০৪৮৪৪৮+২০৯৬৮৯৬+৪১৯৩৭৯২+৮৩৮৭৫৮৪+১৬৭৭৫১৬৮।
তাছাড়া ৮৫৮৯৮৬৯০৫৬, ১৩৭৪৩৮৬৯১৩২৮, ২৩০৫৮৪৩০০৮১৩৯৯৫২১২৮ এরাও Perfect number।

Perfect number খুঁজে বের করার একটি সূত্র রয়েছে। সূত্রটি ব্যবহার করে অনেকগুলি Perfect number খুব সহজেই বের করা যায়। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)×(২^p − ১) এখানে p হচ্ছে prime number. এবার আসুন দেখি সত্যি সত্যিই এই সূত্র ব্যবহার করে Perfect number পাওয়া যায় কিনা দেখি।
p = ২:  ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(২−১)×(২^২ − ১) = ২×৩ = ৬
p = ৩:   ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৩−১)×(২^৩ − ১) = ৩×৭ = ২৮
p = ৫:   ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৫−১)×(২^৫ − ১) = ১৬×৩১ = ৪৯৬
p = ৭:   ২^(p−১)×(২^p − ১) = ২^(৭−১)×(২^৭ − ১) = ৬৪×১২৭ = ৮১২৮

তাহলে কি প্রতিটি prime number-ই p এর স্থানে বসালে একটি করে Perfect number পাওয়া যাবে?
না, পাওয়া যাবে না। তবে যে সমস্ত prime number ব্যাবহার করে Perfect number পাওয়া যাবে তাদের একটি লিস্ট এখানে দেখাতে পারি।
p = ২, ৩, ৫, ৭, ১৩, ১৭, ১৯, ৩১, ৬১, ৮৯, ১০৭, ১২৭, ৫২১, ৬০৭, ১২৭৯, ২২০৩, ২২৮১, ৩২১৭, ৪২৫৩, ৪৪২৩, ৯৬৮৯, ৯৯৪‌, ১১২১৩, ১৯৯৩৭, ২১৭০১, ২৩২০৯, ৪৪৪৯৭, ৮৬২৪৩, ১১০৫০৩, ১৩২০৪৯, ২১৬০৯১, ৭৫৬৮৩৯, ৮৫৯৪৩৩, ১২৫৭৭৮৭, ১৩৯৮২৬৯, ২৯৭৬২২১, ৩০২১৩৭৭, ৬৯৭২৫৯৩, ১৩৪৬৬৯১৭, ২০৯৯৬০১১, ২৪০৩৬৫৮৩, ২৫৯৬৪৯৫১, ৩০৪০২৪৫৭, ৩২৫৮২৬৫৭, ৩৭১৫৬৬৬৭, ৪২৬৪৩৮০১, ৪৩১১২৬০৯ ইত্যাদি।

মজার বিষয় হচ্ছে প্রতিটি Perfect number-ই এক একটি ট্রায়াঙ্গুলার নাম্বার (Triangular Number)
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/153_Triangular.gif

যেমনঃ ৬ = ১+২+৩।
২৮ = ১+২+৩+৪+৫+৬+৭।
৪৯৬ = ১+২+৩+...............+২৯+৩০+৩১।
৮১২৮ = ১+২+৩+...............+১২৬+১২৬+১২৭।

Perfect number-এর আরো একটি মজা রয়েছে। চাইলে (প্রথমটি ছাড়া) প্রতিটি Perfect number-কে শুধুমাত্র ক্রমিক বিজোড় সংখ্যার কিউবের সমস্টি হিসেবে দেখানো যায়। যেমন
২৮ = ১^৩+৩^৩
৪৯৬ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩
৮১২৮ = ১^৩+৩^৩+৫^৩+৭^৩+৯^৩+১১^৩+১৩^৩+১৫^৩

কতোটি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি একটি Perfect number-হবে তা জানার জন্য আমরা একটি সূত্র ব্যবহার করতে পারি। সূত্রটি হচ্ছে ২^(p−১)/২। এখানে P এর মান উপরের Perfect number বের করার যে সূত্র {২^(p−১)×(২^p − ১)} করেছি সেখানকার P এর মানের সমান। অর্থাৎ যখন সূত্র ব্যবহার করে ২৮কে বের করেছি তখন P এর মান ছিলো ৩। তাই ২৮ এর জন্য ২^(p−১)/২ = ২^(৩−১)/২ = ২^২/২ = ২^১ = ২। সুতরাং ২৮ বের করতে হলে ২টি বিজোড় ক্রমিক সংখ্যার কিউবের সমস্টি করতে হবে। বাকি গুলিও এবাবেই বের করা সম্ভব হবে।

আজ এখানেই শেষ করছি, সকল প্রকারের ভুলের জন্য ক্ষমা চেয়ে নিচ্ছি। গুণীজন নিজ গুণেই আমার ভুলগুলি ক্ষমাসুন্দর দৃষ্টিতে দেখবেন এ আশাই রইলো। ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।
সূত্রঃ



======================================================
আমার লিখা আরো কিছু মজার গণিতঃ
আশ্চর্য! একটি সংখ্যা ৬৬৬......
আশ্চর্য একটি সংখ্যা ১৪২৮৫৭
আশ্চর্য একটি সংখ্যা ৬১৭৪
আশ্চর্য সংখ্যা Shliced Number
“১৫৩” একটি অবাক করা সংখ্যা
দুর্গা ধ্রুবক
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র
সংখ্যা রঙ্গ সমগ্র ২
"আশ্চর্য কিছু ক্রমিক সংখ্যা"
আশ্চর্য একটি সংখ্যা 076923
রামানুজন সংখ্যা ১৭২৯
১ ২ ৩ ৪ ৫ ৬ ৭ ৮ ৯ = ১০০

এখনো অনেক অজানা ভাষার অচেনা শব্দের মত এই পৃথিবীর অনেক কিছুই অজানা-অচেনা রয়ে গেছে!! পৃথিবীতে কত অপূর্ব রহস্য লুকিয়ে আছে- যারা দেখতে চায় তাদের নিমন্ত্রণ।

Re: পারফেক্ট নাম্বার

আপনার সংখ্যা নিয়ে পোস্টগুলা খুব ভালো লাগে।  clap clap

Re: পারফেক্ট নাম্বার

Sun লিখেছেন:

আপনার সংখ্যা নিয়ে পোস্টগুলা খুব ভালো লাগে।  clap clap

ভালো লাগলো জানতে পেরে।

এখনো অনেক অজানা ভাষার অচেনা শব্দের মত এই পৃথিবীর অনেক কিছুই অজানা-অচেনা রয়ে গেছে!! পৃথিবীতে কত অপূর্ব রহস্য লুকিয়ে আছে- যারা দেখতে চায় তাদের নিমন্ত্রণ।

Re: পারফেক্ট নাম্বার

ইফতারের পর পড়ব। আপাতত পেন্ডিং লিস্টে রাখছি। আর হ্যাঁ, আপনাকে ধন্যবাদ।

লেখাটি CC by-nc-sa 3.0 এর অধীনে প্রকাশিত

Re: পারফেক্ট নাম্বার

পছন্দের তালিকায় যুক্ত করলাম । পড়ে কাজে লাগবে। smile

Re: পারফেক্ট নাম্বার

দারুণ ভাই,দারুণ, তবে টায়েঙ্গেলের ব্যাপারটা বুঝলাম না।

"আমি তোমাদেরকে ভয়,ক্ষুধা এবং ধন সম্পদ,জীবন ও ফল ফসলের ক্ষয়ক্ষতি দ্বারা অবশ্য পরীক্ষা করব।তুমি শুভ সংবাদ দাও ধৈর্যশীলগণকে- যারা তাদের উপর বিপদ আপতিত হলে বলে-'আমরা তো আল্লাহরই এবং নিশ্চিতভাবে তাঁর দিকেই প্রত্যাবর্তনকারী'।"--- সূরা বাকারা(১৫৫,১৫৬)
তাই আমার মনে হয়,খারাপ অবস্থায় থাকলেও, আমাদের কারোরই হতাশ হওয়া উচিত না। smile

Re: পারফেক্ট নাম্বার

অয়ন খান লিখেছেন:

ইফতারের পর পড়ব। আপাতত পেন্ডিং লিস্টে রাখছি। আর হ্যাঁ, আপনাকে ধন্যবাদ।

ধন্যবাদ আপনাকেও।

ত্রিনিত্রির রাশিমালা লিখেছেন:

পছন্দের তালিকায় যুক্ত করলাম । পড়ে কাজে লাগবে। smile

ধন্যবাদ

concept লিখেছেন:

দারুণ ভাই,দারুণ, তবে টায়েঙ্গেলের ব্যাপারটা বুঝলাম না।

টায়েঙ্গেল নাম্বার হচ্ছে ক্রমিক সংখ্যার যোগফল। এরা হচ্ছে....
১ = ১
১+২ = ৩
১+২+৩ = ৬
১+২+৩+৪ = ১০
১+২+৩+৪+৫ = ১৫
১+২+৩+৪+৫+৬ = ২১
এভাবে....
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7e/153_Triangular.gif
ছবিটির ডান দিকের সংখ্যাগুলিই হচ্ছে টায়েঙ্গেল নাম্বার।
১, ৩, ৬, ১০, ১৫, ২১ ..... ১৩৬, ১৫৩ ...... ইত্যাদি।

ধন্যবাদ, ভালো থাকবেন সকলে।

এখনো অনেক অজানা ভাষার অচেনা শব্দের মত এই পৃথিবীর অনেক কিছুই অজানা-অচেনা রয়ে গেছে!! পৃথিবীতে কত অপূর্ব রহস্য লুকিয়ে আছে- যারা দেখতে চায় তাদের নিমন্ত্রণ।

সর্বশেষ সম্পাদনা করেছেন সাইফুল_বিডি (১৮-০৯-২০১১ ১৭:৩৪)

Re: পারফেক্ট নাম্বার

এটার জন্য একটা প্রোগ্রাম সি তে লেখা
#include<stdio.h>
#include<conio.h>
void main(){  clrscr();
       long int a,c,g=0,b,f,d;

       printf("4-");
       scanf("%ld",&f);
       for(a=4;a<=f;a++){     d=0;
                        for(c=1;c<=a-1;c++){

                                          b=a%c;
                                             if(b==0){

                                               d=d+c;}}
                                               while(d==a){

          printf("\nPERFECT NUMBER is%25ld   ",a);
          g=g+1;break; }

}
       printf("\nTOTAL PERFECT NUMBER In (1 -%ld)  is = %ld",f,g);
       getch();
}

এই ব্যাক্তির সকল লেখা কাল্পনিক , জীবিত অথবা মৃত কারো সাথে মিল পাওয়া গেলে তা সম্পুর্ন কাকতালীয়, যদি লেখা জীবিত অথবা মৃত কারো সাথে মিলে যায় তার দায় এই আইডির মালিক কোনক্রমেই বহন করবেন না। এই ব্যক্তির সকল লেখা পাগলের প্রলাপের ন্যায় এই লেখা কোন প্রকার মতপ্রকাশ অথবা রেফারেন্স হিসাবে ব্যবহার করা যাবে না।

Re: পারফেক্ট নাম্বার

ইন্টারেস্টিং ।

১০

Re: পারফেক্ট নাম্বার

মাথা ঘুরে দেহি..........

জাযাল্লাহু আন্না মুহাম্মাদান মাহুয়া আহলুহু......
এই মেঘ এই রোদ্দুর

১১

Re: পারফেক্ট নাম্বার

মরু ভাই আপনি আসলেই ঢেহাইত(দস্যু)......JFF.
ভয় পাইছি..।

আমার মৃত্যু নেই কারণ আমি মানুষ।
আল্লাহ মানুষকে অমর বানিয়েছেন তবে এ দেহের মৃত্যু হবে।

facebookকে

১২

Re: পারফেক্ট নাম্বার

অসাধারণ , অনেক কিছু জানতে পারলাম ।

          ***সবার সাথে সবখানে বাতাসের মত ***
            http://palashworld.yolasite.com/

বাপের হোটেলের একজন  নিয়মিত ক্রেতা , এবং পেটলীগ এর কর্মী ।